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Beispiele derzeit verfügbarer Themen für Abschlussarbeiten

 

Bachelorarbeiten

 

Schlüsselaustausch nach Diffie-Hellman (Frühbis-Krüger)

 Ziel der Arbeit ist die Darstellung des Diffie-Hellman-Schluesselaustauschs,
 der möglichen Angriffe darauf sowie eine (nicht-optimierte) Implementierung,
 die ein Experimentieren mit der Nutzung des Algorithmus und ein oder zwei
 Attacken erlaubt. Geplanter Einsatz des entstandenen Programms ist die
 Illustration des Algorithmus z.B. im Rahmen von Schülerworkshops zur
 Kryptographie.

 

Lineare Optimierung von graphischen Verfahren zum Simplex-Algorithmus
-- aufbereitet für eine Schüler-AG (Frühbis-Krüger)


 Diese Arbeit richtet sich gezielt an Studierende des Fächerübergreifenden
 Bachelors, die neben mathematischem Inhalt auch Gedanken über die Aufarbeitung
 und Verwendung des Stoffes in der Schule einfliessen lassen möchten. Daher
 ist nicht nur eine Darstellung der mathematischen Hintergründe und der
 Algorithmen zentral, sondern auch die bewusste Auswahl geeigneter Beispiele
 und Anwendungen.

 

Geraden auf singulären kubischen Flächen (Hulek)

Jede glatte kubische Fläche enthält genau 27 Geraden, deren Schnittkonfiguration explizit beschrieben werden kann. Dies ist ein berühmtes Ergebnis der klassischen algebraischen Geometrie. Für eine singuläre kubische Fläche verändert sich die Situation, die Zahl der Geraden verringert sich (falls sie endlich leibt). Dies soll hier im Falle von ADE Singularitäten detailliert untersucht werden. Vieles davon ist klassisch bekannt, wenn auch nicht immer leicht in der Literatur zugänglich. Es stellen sich aber auch neue Fragen:

- Angabe expliziter Gleichungen der Fläche und der darauf enthaltenden Geraden
- Können alle Konfigurationen über den reellen Zahlen realisiert werden?
- Beschreibung der Moduli von kubischen Flächen mit vorgegebenen ADE-Singularitäten.

 

Lokal-global auf Quadriken und Kubiken (Schütt)

Es ist eine klassische Fragestellung in der Arithmetik, inwieweit lokale Informationen ausreichen, um globale Schlüsse zu ziehen. Diese Arbeit soll zunächst Quadriken behandeln, wo das sogenannte Hasse-Prinzip greift. Sodann sollen Kubiken auf Obstruktionen untersucht werden.

Masterarbeiten

 

Klassifikation von einfachen nicht-isolierten Cohen-Macaulay Kodimension 2 Singularitäten (Frühbis-Krüger)

 Während nicht-isolierte Hyperflächensingularitäten stets in unendlich viele
 verschiedene Typen von Singularitäten deformieren können, gibt es in höherer
 Kodimension nicht-isolierte Singularitäten, die gar nicht in andere Typen von
 Singularitäten deformieren können oder nur in endlich viele.

 Ziel der Arbeit ist es, für eine spezielle Klasse solcher Singularitäten
 sowohl mittels systematischer Computerexperimente als auch theoretisch zu
 untersuchen, wann höchstens endlich viele verschiedene Typen auftreten und
 ggf. eine Hierarchie zwischen diesen Typen aufzuspüren.


Geometrische Betrachtungen zur Normalisierung nach Grauert-Remmert (Frühbis-Krüger)

 Der Algorithmus nach Grauert und Remmert basiert auf einer Iteration, in
 deren einzelnen Durchläufen bei der Normalisierung einer Kurvensingularität
 Singularitäten auftauchen, die einfacher sind als die vorigen, aber höhere
 Einbettungsdimension besitzen. Der Zusammenhang zwischen den im Laufe des
 Algorithmus auftretenden Singularitäten ist noch nicht vollständig verstanden.

 Hauptziel der Arbeit ist es, den Beispielvorrat zur Untersuchung dieser
 Fragestellung gezielt um interessante Beispiele zu erweitern und diese mit
 Werkzeugen der Singularitätentheorie wie etwa Invarianten und Halbgruppe zu
 untersuchen. Bekannte Auffälligkeiten und neue Beobachtungen sollen dabei
 weiter verfolgt und experimentell und theoretisch genauer untersucht werden.

 

Fanovarietäten von Geraden auf kubischen Drei-Varietäten (Hulek)

Eine glatte kubische Hyperfläche X im 4-dimensionalen projektiven Raum (cubic threefold) enthält eine 2-dimensionale Familien von Geraden, die sogenannte Fanofläche Fanofläche F(X) von X. In X glatt, so gilt dies auch für F(X), in diesem Fall ist die Fanofläche ebenfalls glatt und irreduzibel, und zwar ist F(X) von allgemeinem Typ. Inhalt dieser Masterarbeit ist das Studium von Fanoflächen (bestimmter) singulärer kubischer Hyperflächen. Für (semi-)stabile Hyperflächen vom Grad 3 ist bekannt, welche Singularitäten auftreten können. Hierbei handelt es sich (bestimmte) Konfigurationen von A,D Singularitäten.

Es soll untersucht werden, welche Entartungen von Fanoflächen in diesen Fällen auftreten können. In diesem Fall ist eine Reihe von interessanten Phänomenen zu erwarten. Beispielsweise ist bekannt, dass die Fanofläche reduzibel werden kann. Eine genaue Übersicht über die möglichen singulären Fanoflächen existiert derzeit jedoch nicht. Dies soll in der Masterarbeit erarbeitet werden.


Stabile Kohomologie von Kompaktifizierungen von Ag (Hulek)

Ein klassisches Ergebnis von Borel besagt, dass die Kohomologie der Modulräume Ag der (prinzipal polarisierten) abelschen Varietäten vom Geschlecht g stabilisiert, d.h. die Gruppen Hk(Ag,Q) unabhängig von g sind, falls g>k ist. In den letzten Jahren sind diese Ergebnisse auf bestimmte (auch partielle) Kompaktifizierungen von Ag übertragen worden. Inzwischen ist zudem ein Algorithmus entwickelt worden, der es erlaubt, die stabilen Kohomologiegruppen zu berechnen.

Aufgabe dieser Masterarbeit ist es, den Algorithmus zur Berechnung der stabilen Kohomologie weiter zu entwickeln. Hierbei sollen theoretischen Aspekte bearbeitet, aber auch ein Programm erstellt werden.

 

Rationale elliptische Flächen in Charakteristik 2 (Schütt)

Rationale elliptische Flächen wurden anhand von Mordell-Weil-Gittern von Oguiso und Shioda klassifiziert. Diese Arbeit zielt auf die Besonderheiten ab, welche in Charakteristik 2 auftreten.

 

K3 Delsarte-Flächen (Schütt)


Delsarte-Flächen sind als Quotienten von Fermat-Flächen besonders gut zugänglich. Bislang wurden sie jedoch im wesentlichen höchstens mit isolierten ADE-Singularitäten untersucht. In dieser Arbeit werden höhere Singularitäten zugelassen; insbesondere soll untersucht werden, welche K3-Flächen auf diesem Wege auftreten.

Beispiele abgeschlossener Arbeiten

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