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Beispiele derzeit verfügbarer Themen für Abschlussarbeiten

 

Bachelorarbeiten (B.Sc. Mathematik)

Lokal-global auf Quadriken und Kubiken (Schütt)

Es ist eine klassische Fragestellung in der Arithmetik, inwieweit lokale Informationen ausreichen, um globale Schlüsse zu ziehen. Diese Arbeit soll zunächst Quadriken behandeln, wo das sogenannte Hasse-Prinzip greift. Sodann sollen Kubiken auf Obstruktionen untersucht werden.

 

Die Berechnung des Ortes maximaler Ordnung im arithmetischen Fall  (Frühbis-Krüger)

Analog zu der Ordnung einer Potenzreihe, dem niedrigsten in der Potenzreihe auftretenden Grad, kann man auch die Ordnung eines Ideals definieren. Dieser Wert spielt eine große Rolle beim Auffinden der schlimmsten Singularitäten geometrischer Objekte, wie es etwa für die Desingularisierung notwendig ist. In dieser Arbeit soll ein in der Literatur knapp beschriebener, aber bisher noch nirgends implementerierter Algorithmus zur Bestimmung des Ortes maximaler Ordnung detailliert aufgearbeitet und programmiert werden. Voraussetzungen: notwendig sind Algebra II oder Algorithmische Kommutative Algebra sowie Programmierkenntnisse, hilfreich ist Algebraische Geometrie

Bachelorarbeiten (FüBa. Erstfach Mathematik)

Algorithmische Faktorisierung ganzer Zahlen  (Frühbis-Krüger)

Darauf, dass bis heute kein schneller Algorithmus bekannt ist, der ganze Zahlen faktorisiert, beruht z.B. die Sicherheit des klassischen, inzwischen durch modernere Verfahren abgelösten RSA-Verfahrens. Doch welche algorithmischen Möglichkeiten hat man, eine ganze Zahl zu faktorisieren? Mit dieser Frage soll sich die vorliegende Arbeit an Hand von Standardliteratur auseinander setzen. Je nach Vorlieben des/der Studierenden können hierbei zwei verschiedene Schwerpunkte gesetzt werden: Einerseits kann die Fragestellung untersucht werden, welche dieser Verfahren so aufbereitet werden können, dass sie auch für eine Schüler-AG der Oberstufe verwendbar sind; andererseits kann die Erstellung von Demonstrationssoftware für einige dieser Algorithmen als Ziel gesetzt werden, um so Studierenden das Experimentieren mit den Algorithmen, deren Leistungsfähigkeit und deren Verhalten für kleine und große Zahlen zu bieten. Voraussetzungen: notwendig sind Kenntnisse aus der Algebra I, bei Themenschwerpunkt 2 auch Programmierkenntnisse

Masterarbeiten (M.Sc. Mathematik)

Eigenschaften Determinantieller Kurven- und Flächensingularitäten (Frühbis-Krüger)

In den letzten Jahren sind determinantielle Singularitäten vermehrt in den Fokus der aktuellen Forschung gerückt. Das vorliegende Thema kann je nach Vorlieben des/der Studierenden entweder als Literaturarbeit bestehende Ergebnisse zusammentragen, sichten und aufbereiten oder gezielt experimentell den Beispielvorrat an determinantiellen Singularitäten niedriger Dimension erweitern und für bekannte und neue Beispiele deren Eigenschaften untersuchen. Voraussetzungen: zwingend notwendig sind Kenntnisse aus der Algebra II und Algebraischen Geometrie I, vorteilhaft sind Inhalte aus Singularitäten oder Algorithmische Kommutative Algebra sowie Programmierkenntnisse

 

Klassifikation von einfachen nicht-isolierten Cohen-Macaulay Kodimension 2 Singularitäten (Frühbis-Krüger)
 Während nicht-isolierte Hyperflächensingularitäten stets in unendlich viele
 verschiedene Typen von Singularitäten deformieren können, gibt es in höherer
 Kodimension nicht-isolierte Singularitäten, die gar nicht in andere Typen von
 Singularitäten deformieren können oder nur in endlich viele.

 Ziel der Arbeit ist es, für eine spezielle Klasse solcher Singularitäten
 sowohl mittels systematischer Computerexperimente als auch theoretisch zu
 untersuchen, wann höchstens endlich viele verschiedene Typen auftreten und
 ggf. eine Hierarchie zwischen diesen Typen aufzuspüren.


Geometrische Betrachtungen zur Normalisierung nach Grauert-Remmert (Frühbis-Krüger)

 Der Algorithmus nach Grauert und Remmert basiert auf einer Iteration, in
 deren einzelnen Durchläufen bei der Normalisierung einer Kurvensingularität
 Singularitäten auftauchen, die einfacher sind als die vorigen, aber höhere
 Einbettungsdimension besitzen. Der Zusammenhang zwischen den im Laufe des
 Algorithmus auftretenden Singularitäten ist noch nicht vollständig verstanden.

 Hauptziel der Arbeit ist es, den Beispielvorrat zur Untersuchung dieser
 Fragestellung gezielt um interessante Beispiele zu erweitern und diese mit
 Werkzeugen der Singularitätentheorie wie etwa Invarianten und Halbgruppe zu
 untersuchen. Bekannte Auffälligkeiten und neue Beobachtungen sollen dabei
 weiter verfolgt und experimentell und theoretisch genauer untersucht werden.

 

Die Kirwan Stratifikation des Modulraums der kubischen Flächen (Hulek)

Kubische Flächen werden als Untervarietäten des projektiven Raums \(\mathbb{P}^3\) durch Gleichungen der Form \(F(x_0,x_1,x_2,x_3)=0\) gegeben, wobei \(F\) ein homogenes Polynom vom Grad \(3\) ist. Zwei Gleichungen \(F=0\) und \(G=0\) definieren genau dann isomorphe Flächen wenn sie durch eine Koordinatentransformation auseinander hervorgehen. Dies führt dazu, den Orbitraum \(M_3\) der homogenen kubischen Polynom in vier Variablen modulo der Gruppe \(GL(4,\mathbb C)\) zu betrachten. Diese Menge besitzt allerdings nicht die Struktur einer algebraischen Varietät. Um dieses Problem zu umgehen, geht man dazu über, den Quotienten \(M_3^{{GIT}}\) im Sinne der Invariantentheorie (Geometric Invariant Theory, GIT) zu betrachten. Der Raum \(M_3^{GIT}\) ist singulär. Die Singularitäten kommen dabei von den kubischen Flächen, welche Symmetrien besitzen. Für Anwendungen ist es oftmals notwendig, eine geeignete Aufl\"osung (Desingularisierung) zu betrachten. F. Kirwan hat ein Verfahren entwickelt, eine (partielle) Auflösung \(M_3^{Kirwan} \to M_3^{GIT}\) zu konstruieren. Der resultierende Raum \(M_3^{{Kirwan}}\) besitzt zwar auch noch Singularitäten, dies sind jedoch endliche Quotientensingularitäten, welche sich für viele Zwecke wie glatte Varietäten verhalten. Die Aufgabenstellung besteht darin, die Kirwan-Desingularisierung zu berechnen und mit (teilwiese Widersprüchlichen) Ergebnissen on der Literatur zu vergleichen.

Picardzahlen abelscher Varietäten (Hulek)

Eine abelsche Varietät ist eine projektive Varietät, welche zugleich eine abelsche Gruppe ist. Über den komplexen Zahlen kann man eine abelsche Varietät stets als Quotient von \({\mathbb C}^n\) nach einem Gitter \(\Lambda\) erhalten. Die Picardzahl einer abelschen Varietät \(A\) ist der Rang der Néron-Severi Gruppe \(\rho(A)= \text{rank}(\mbox{NS}(A))\). Für eine abelsche Varietät \(A\) der Dimension \(g\) gilt stets \(1 \leq \rho(A) \leq g^2\) und die obere Schranke \(g^2\) wird genau für die Produkte \(A=E^g\) angenommen, wobei \(E\) eine elliptische Kurve mit komplexer Multiplikation (CM) ist.
Für \(g\geq 3\) ist bekannt, dass nicht alle Werte in dem Intervall \([1,g^2]\) auch wirklich als Picardzahlen angenommen werden. Andrerseits kann man die Menge \(R_g\) der möglichen Picardzahlen für \(g \leq 100\) mit Hilfe eines Computers konkret berechnen.
Die Aufgabenstellung besteht darin, für kleines Geschlecht \(g\) zu untersuchen, was man über die Struktur der abelschen Varietäten aussagen kann, welche eine gegebene Picardzahl \(\rho(g) \in R_g\) annehmen. Ferner soll an Hand von Beispielen untersucht werden, welche Picardzahlen die Jacobischen von Kurven vom Geschlecht \(g\) annehmen können.

 

Rationale elliptische Flächen in Charakteristik 2 (Schütt)
Rationale elliptische Flächen wurden anhand von Mordell-Weil-Gittern von Oguiso und Shioda klassifiziert. Diese Arbeit zielt auf die Besonderheiten ab, welche in Charakteristik 2 auftreten.

 

Weyl-Gruppen und elliptische Flächen in kleiner Charakteristik (Schütt)

Weyl-Gruppen von Wurzeltypen lassen sich anhand rationaler elliptischer Flächen interpretieren vermittels exzellenter Familien. Üblicherweise geschieht dies über Q und überträgt sich auf Körper hinreichend großer Charakteristik. Vorliegend sollen genau die Ausnahmefälle kleiner Charakteristik untersucht werden.

 

K3 Delsarte-Flächen (Schütt)

Delsarte-Flächen sind als Quotienten von Fermat-Flächen besonders gut zugänglich. Bislang wurden sie jedoch im wesentlichen höchstens mit isolierten ADE-Singularitäten untersucht. In dieser Arbeit werden höhere Singularitäten zugelassen; insbesondere soll untersucht werden, welche K3-Flächen auf diesem Wege auftreten.

Beispiele abgeschlossener Arbeiten

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