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Beispiele derzeit verfügbarer Themen für Abschlussarbeiten

 

Bachelorarbeiten (B.Sc. Mathematik)

Lokal-global auf Quadriken und Kubiken (Schütt)

Es ist eine klassische Fragestellung in der Arithmetik, inwieweit lokale Informationen ausreichen, um globale Schlüsse zu ziehen. Diese Arbeit soll zunächst Quadriken behandeln, wo das sogenannte Hasse-Prinzip greift. Sodann sollen Kubiken auf Obstruktionen untersucht werden.

 

Bestimmung des nicht-regulären Ortes im arithmetischen Fall (Frühbis-Krüger)

Die singulären Punkte einer Varietät über einem perfekten Körper (z.B. den komplexen Zahlen) lassen sich direkt mit Hilfe des Jacobi-Kriteriums bestimmen. Arbeitet man jedoch statt über einem Körper über den ganzen Zahlen, so ist die Fragestellung schon deutlich komplizierter und das Jacobi-Kriterium nicht mehr geeignet. Ziel dieser Arbeit ist es, einen Algorithmus zur Bestimmung des nicht-regulären Ortes eines Schemas über den ganzen Zahlen aus der Literatur aufzuarbeiten und zu implementieren. Voraussetzungen: Algebra II, Programmierkenntnissse; hilfreich: eine Veranstaltung aus Algebraische Geometrie und Algorithmische Kommutative Algebra.

Bachelorarbeiten (FüBa. Erstfach Mathematik)

Algorithmische Faktorisierung ganzer Zahlen  (Frühbis-Krüger)

Darauf, dass bis heute kein schneller Algorithmus bekannt ist, der ganze Zahlen faktorisiert, beruht z.B. die Sicherheit des klassischen, inzwischen durch modernere Verfahren abgelösten RSA-Verfahrens. Doch welche algorithmischen Möglichkeiten hat man, eine ganze Zahl zu faktorisieren? Mit dieser Frage soll sich die vorliegende Arbeit an Hand von Standardliteratur auseinander setzen. Je nach Vorlieben des/der Studierenden können hierbei zwei verschiedene Schwerpunkte gesetzt werden: Einerseits kann die Fragestellung untersucht werden, welche dieser Verfahren so aufbereitet werden können, dass sie auch für eine Schüler-AG der Oberstufe verwendbar sind; andererseits kann die Erstellung von Demonstrationssoftware für einige dieser Algorithmen als Ziel gesetzt werden, um so Studierenden das Experimentieren mit den Algorithmen, deren Leistungsfähigkeit und deren Verhalten für kleine und große Zahlen zu bieten. Voraussetzungen: notwendig sind Kenntnisse aus der Algebra I, bei Themenschwerpunkt 2 auch Programmierkenntnisse.

Masterarbeiten (M.Sc. Mathematik)

Eigenschaften Determinantieller Kurven- und Flächensingularitäten (Frühbis-Krüger)

In den letzten Jahren sind determinantielle Singularitäten vermehrt in den Fokus der aktuellen Forschung gerückt. Das vorliegende Thema kann je nach Vorlieben des/der Studierenden entweder als Literaturarbeit bestehende Ergebnisse zusammentragen, sichten und aufbereiten oder gezielt experimentell den Beispielvorrat an determinantiellen Singularitäten niedriger Dimension erweitern und für bekannte und neue Beispiele deren Eigenschaften untersuchen. Voraussetzungen: zwingend notwendig sind Kenntnisse aus der Algebra II und Algebraischen Geometrie I, vorteilhaft sind Inhalte aus Singularitäten oder Algorithmische Kommutative Algebra sowie Programmierkenntnisse.

 

Geometrische Betrachtungen zur Normalisierung nach Grauert-Remmert (Frühbis-Krüger)

 Der Algorithmus nach Grauert und Remmert basiert auf einer Iteration, in
 deren einzelnen Durchläufen bei der Normalisierung einer Kurvensingularität
 Singularitäten auftauchen, die einfacher sind als die vorigen, aber höhere
 Einbettungsdimension besitzen. Der Zusammenhang zwischen den im Laufe des
 Algorithmus auftretenden Singularitäten ist noch nicht vollständig verstanden.

 Hauptziel der Arbeit ist es, den Beispielvorrat zur Untersuchung dieser
 Fragestellung gezielt um interessante Beispiele zu erweitern und diese mit
 Werkzeugen der Singularitätentheorie wie etwa Invarianten und Halbgruppe zu
 untersuchen. Bekannte Auffälligkeiten und neue Beobachtungen sollen dabei
 weiter verfolgt und experimentell und theoretisch genauer untersucht werden.

 

Vergleich verschiedener Algorithmen zur Auflösung von Singularitäten im arithmetischen Fall (Frühbis-Krüger)

Im arithmetischen Fall gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, eine Desingularisierung von 2-dimensionalen Schemata zu bestimmen. In einem Fall werden nur Aufblasungen als birationale Morphismen verwendet, während im anderen Fall auch Normalisierungsschritte notwendig sind. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, zwei miteinander vergleichbare Implementationen der Algorithmen zu erstellen und dann die Stärken und Schwächen der beiden Ansätze im Vergleich zueinander herauszuarbeiten. Dem Studium von Beispielen und der Identifizierung von Beispielklassen wird hierbei große Bedeutung zukommen. Voraussetzungen: Algorithmische Kommutative Algebra, Algebraische Geometrie I sowie Programmierkenntnisse; hilfreich: Grundlagen in Zahlentheorie.

 

Die Kirwan Stratifikation des Modulraums der kubischen Flächen (Hulek)

Kubische Flächen werden als Untervarietäten des projektiven Raums \(\mathbb{P}^3\) durch Gleichungen der Form \(F(x_0,x_1,x_2,x_3)=0\) gegeben, wobei \(F\) ein homogenes Polynom vom Grad \(3\) ist. Zwei Gleichungen \(F=0\) und \(G=0\) definieren genau dann isomorphe Flächen wenn sie durch eine Koordinatentransformation auseinander hervorgehen. Dies führt dazu, den Orbitraum \(M_3\) der homogenen kubischen Polynom in vier Variablen modulo der Gruppe \(GL(4,\mathbb C)\) zu betrachten. Diese Menge besitzt allerdings nicht die Struktur einer algebraischen Varietät. Um dieses Problem zu umgehen, geht man dazu über, den Quotienten \(M_3^{{GIT}}\) im Sinne der Invariantentheorie (Geometric Invariant Theory, GIT) zu betrachten. Der Raum \(M_3^{GIT}\) ist singulär. Die Singularitäten kommen dabei von den kubischen Flächen, welche Symmetrien besitzen. Für Anwendungen ist es oftmals notwendig, eine geeignete Aufl\"osung (Desingularisierung) zu betrachten. F. Kirwan hat ein Verfahren entwickelt, eine (partielle) Auflösung \(M_3^{Kirwan} \to M_3^{GIT}\) zu konstruieren. Der resultierende Raum \(M_3^{{Kirwan}}\) besitzt zwar auch noch Singularitäten, dies sind jedoch endliche Quotientensingularitäten, welche sich für viele Zwecke wie glatte Varietäten verhalten. Die Aufgabenstellung besteht darin, die Kirwan-Desingularisierung zu berechnen und mit (teilwiese Widersprüchlichen) Ergebnissen on der Literatur zu vergleichen.

 

Picardzahlen abelscher Varietäten (Hulek)
Eine abelsche Varietät ist eine projektive Varietät, welche zugleich eine abelsche Gruppe ist. Über den komplexen Zahlen kann man eine abelsche Varietät stets als Quotient von \({\mathbb C}^n\) nach einem Gitter \(\Lambda\) erhalten. Die Picardzahl einer abelschen Varietät \(A\) ist der Rang der Néron-Severi Gruppe \(\rho(A)= \text{rank}(\mbox{NS}(A))\). Für eine abelsche Varietät \(A\) der Dimension \(g\) gilt stets \(1 \leq \rho(A) \leq g^2\) und die obere Schranke \(g^2\) wird genau für die Produkte \(A=E^g\) angenommen, wobei \(E\) eine elliptische Kurve mit komplexer Multiplikation (CM) ist.
Für \(g\geq 3\) ist bekannt, dass nicht alle Werte in dem Intervall \([1,g^2]\) auch wirklich als Picardzahlen angenommen werden. Andrerseits kann man die Menge \(R_g\) der möglichen Picardzahlen für \(g \leq 100\) mit Hilfe eines Computers konkret berechnen.
Die Aufgabenstellung besteht darin, für kleines Geschlecht \(g\) zu untersuchen, was man über die Struktur der abelschen Varietäten aussagen kann, welche eine gegebene Picardzahl \(\rho(g) \in R_g\) annehmen. Ferner soll an Hand von Beispielen untersucht werden, welche Picardzahlen die Jacobischen von Kurven vom Geschlecht \(g\) annehmen können.

 

The very most algebraic cubic fourfolds (Schütt)

Nachdem Vinberg in den 80ern die "most algebraic" K3 Flächen eingeführt hatte, hat Laza jüngst ein ähnliches Konzept für glatte kubische Hyperflächen in \(\mathbb P^5\) vorgeschlagen (ohne zu wissen, ob diese Varietäten überhaupt rational sind oder nicht). In dieser Arbeit geht es darum, anhand von Automorphismen noch zusätzliche Strukturen zu schaffen, welche die Varietäten gewissermaßen noch algebraischer erscheinen lassen.

 

K3 Delsarte-Flächen (Schütt)

Delsarte-Flächen sind als Quotienten von Fermat-Flächen besonders gut zugänglich. Bislang wurden sie jedoch im wesentlichen höchstens mit isolierten ADE-Singularitäten untersucht. In dieser Arbeit werden höhere Singularitäten zugelassen; insbesondere soll untersucht werden, welche K3-Flächen auf diesem Wege auftreten.

Beispiele abgeschlossener Arbeiten

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